دخول التلميذدخولسجّل مجانًا

الموضوع النموذجي 9 · رياضيات العام (النوفيام)

على نمط امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام): الحصّة ساعتان، الضارب 2، 5 تمارين على 20. المحاور: مثلث متقايس الضلعين في معيّن ورباعي وجوه.

الموضوع PDFالإصلاح PDF
أنجز الموضوع في ساعتان على ورقة، ثمّ افتح عناصر الإجابة.

التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات

3 نقاط

لكلّ سؤال ثلاثة اقتراحات، واحد منها فقط صحيح. أنقل على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.

  1. العدد ⁦7 × 10²⁰²⁵ + 2⁩ يقبل القسمة على:
    أ) 4ب) 5ج) 9
  2. في صندوق 20 بطاقة متشابهة مرقّمة من 1 إلى 20. نسحب عشوائيًا بطاقة واحدة. احتمال أن يكون رقمها مضاعفًا للعدد 3 هو:
    أ) ⁦1/3⁩ب) ⁦3/10⁩ج) ⁦1/4⁩
  3. العدد ⁦3⁻² + 3⁻² + 3⁻²⁩ يساوي:
    أ) ⁦3⁻⁶⁩ب) ⁦9⁻²⁩ج) ⁦1/3⁩
قابلية القسمة على 6 أو 12 أو 15الاحتمالاتقوّة عدد حقيقي دليلها عدد صحيح نسبي
عناصر الإجابة
  • 1) العدد يُكتب 7 ثمّ 2024 صفرًا ثمّ 2، ومجموع أرقامه 9 فهو يقبل القسمة على 9. رقماه الأخيران 02 فلا يقبل القسمة على 4، ورقم آحاده 2 فلا يقبلها على 5. الجواب (ج).
  • 2) مضاعفات 3 بين 1 و 20 هي 3، 6، 9، 12، 15، 18 أي 6 حالات من 20: الاحتمال ⁦6/20 = 3/10⁩. الجواب (ب).
  • 3) ⁦3 × 3⁻² = 3⁻¹ = 1/3⁩، بينما ⁦3⁻⁶ = 1/729⁩ و ⁦9⁻² = 1/81⁩. الجواب (ج).

التمرين 2: عددان مقلوبان بالجذر √3

3,5 نقاط

نعتبر العددين الحقيقيين ⁦a = √(7 − 4√3)⁩ و ⁦b = 1/(2 − √3)⁩.

  1. أ) تحقّق من أنّ ⁦(2 − √3)² = 7 − 4√3⁩.
    ب) استنتج أنّ ⁦a = 2 − √3⁩.
  2. بيّن أنّ ⁦b = 2 + √3⁩.
  3. بيّن أنّ a و b مقلوبان، ثمّ أحسب ⁦a + b⁩ و ⁦a² + b²⁩.
  4. نعلم أنّ 1,73 < √3 < 1,74. أعط حصرًا للعدد a.
  5. بيّن أنّ ⁦|a − b| = 2√3⁩.
حساب عبارات بها جذور تربيعيةمقارنة مقلوبي عددين والمقاربةالجذاءات المعتبرةالقيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتها
عناصر الإجابة
  • 1) أ) ⁦(2 − √3)² = 4 − 4√3 + 3 = 7 − 4√3⁩. ب) ⁦a = |2 − √3| = 2 − √3⁩ لأنّ ⁦4 > 3⁩ أي ⁦2 > √3⁩.
  • 2) ⁦b = (2 + √3)/((2 − √3)(2 + √3)) = (2 + √3)/(4 − 3) = 2 + √3⁩.
  • 3) ⁦a × b = (2 − √3)(2 + √3) = 1⁩ فهما مقلوبان⁦. a + b = 4⁩ و ⁦a² + b² = (a + b)² − 2ab = 16 − 2 = 14⁩.
  • 4) ⁦−1,74 < −√3 < −1,73⁩ إذن ⁦0,26 < a < 0,27⁩.
  • 5) ⁦a − b = −2√3⁩ إذن ⁦|a − b| = 2√3⁩.

التمرين 3: متطابقة هامّة وقيمة مطلقة ومجالات

4 نقاط

ليكن x عددًا حقيقيًا. نعتبر العبارة ⁦E = 4x² − 12x + 9⁩.

  1. بيّن أنّ ⁦E = (2x − 3)²⁩.
  2. حلّ في ℝ المعادلة ⁦E = 25⁩.
  3. حلّ في ℝ المتراجحة ⁦|2x − 3| ≤ 5⁩ واكتب مجموعة حلولها في شكل مجال.
  4. حلّ في ℝ المتراجحة ⁦3(x + 1) − 2⁩ < x + 3 واكتب مجموعة حلولها في شكل مجال.
  5. حدّد الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق المتراجحتين معًا.
الجذاءات المعتبرةالقيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتهاالمتراجحات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدالمجالات في IR والحصر
عناصر الإجابة
  • 1) ⁦(2x − 3)² = 4x² − 12x + 9 = E⁩.
  • 2) ⁦(2x − 3)² = 25⁩ تعني ⁦2x − 3 = 5⁩ أو ⁦2x − 3 = −5⁩، أي ⁦x = 4⁩ أو ⁦x = −1⁩.
  • 3) ⁦−5 ≤ 2x − 3 ≤ 5⁩ تعني ⁦−2 ≤ 2x ≤ 8⁩ أي ⁦−1 ≤ x ≤ 4⁩: المجموعة ⁦[−1 ; 4]⁩.
  • 4) ⁦3x + 1 < x + 3⁩ تعني ⁦2x < 2⁩ أي ⁦x < 1⁩: المجموعة ⁦]−∞ ; 1[⁩.
  • 5) التقاطع ⁦[−1 ; 4] ∩ ]−∞ ; 1[ = [−1 ; 1[⁩، والأعداد الصحيحة النسبية فيه هي ⁦−1⁩ و 0.

التمرين 4: مثلث متقايس الضلعين في معيّن متعامد

5 نقاط

المستوي مزوّد بمعيّن متعامد (O, I, J) ووحدة قيس الطول هي الصنتمتر. نعتبر النقاط ⁦A(0 ; 4)⁩ و ⁦B(−3 ; 0)⁩ و ⁦C(3 ; 0)⁩.

  1. أ) أحسب AB و AC.
    ب) استنتج طبيعة المثلث ABC.
  2. بيّن أنّ O منتصف ⁦[BC]⁩، ثمّ استنتج أنّ (AO) ارتفاع في المثلث ABC وأحسب مساحته.
  3. لتكن K المسقط العمودي للنقطة B على (AC). بيّن أنّ ⁦BK = 4,8⁩.
  4. لتكن E مناظرة B بالنسبة إلى A.
    أ) بيّن أنّ إحداثيتي E هما ⁦(3 ; 8)⁩.
    ب) بيّن أنّ ⁦(CE) // (AO)⁩ وأنّ ⁦CE = 8⁩.
    ج) استنتج أنّ المثلث BCE قائم في C وأنّ A مركز الدائرة المحيطة به.
التعيين في المستوينظرية بيتاغور وتطبيقاتهاالرباعيات الخاصّة وخاصيّاتهامبرهنة طالس في المثلث
عناصر الإجابة
  • 1) أ) ⁦AB² = (−3 − 0)² + (0 − 4)² = 25⁩ إذن ⁦AB = 5⁩؛ ⁦AC² = 3² + 4² = 25⁩ إذن ⁦AC = 5⁩. ب) ⁦AB = AC⁩ فالمثلث ABC متقايس الضلعين في A.
  • 2) إحداثيتا منتصف ⁦[BC]⁩: ⁦((−3 + 3)/2 ; 0) = (0 ; 0)⁩ فهو O. (AO) موسّط في مثلث متقايس الضلعين في A فهو أيضًا ارتفاع⁦. BC = 6⁩ و ⁦AO = 4⁩، المساحة ⁦(6 × 4)/2 = 12 cm²⁩.
  • 3) المساحة تساوي أيضًا ⁦(AC × BK)/2⁩ إذن ⁦BK = 24/5 = 4,8⁩.
  • 4) أ) A منتصف ⁦[BE]⁩: x_⁦E = 2 × 0 − (−3) = 3⁩ و y_⁦E = 2 × 4 − 0 = 8⁩. ب) في المثلث BCE: A منتصف ⁦[BE]⁩ و O منتصف ⁦[BC]⁩ إذن ⁦(AO) // (CE)⁩ و ⁦CE = 2 × AO = 8 (⁩نتحقّق: ⁦C(3 ; 0)⁩ و ⁦E(3 ; 8))⁩. ج) (AO) ⊥ (BC) و ⁦(CE) // (AO)⁩ إذن (CE) ⊥ (BC) فالمثلث BCE قائم في ⁦C (BC² + CE² = 36 + 64 = 100 = BE²). A⁩ منتصف الوتر ⁦[BE]⁩ و ⁦AB = AC = AE = 5⁩ فهي مركز الدائرة المحيطة به.

التمرين 5: رباعي وجوه وتعامد وحجم

4,5 نقاط
ABCSIJ

(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر) في الرسم المقابل SABC رباعي وجوه حيث المثلث ABC قائم في B، و ⁦AB = 8⁩ و ⁦BC = 7,5⁩، والمستقيم (SA) عمودي على المستوي (ABC) و ⁦SA = 6⁩.

  1. لماذا المستقيمان (SA) و (AB) متعامدان؟ أحسب SB.
  2. بيّن أنّ المستقيم (BC) عمودي على المستوي (SAB)، ثمّ استنتج أنّ المثلث SBC قائم في B.
  3. بيّن أنّ ⁦SC = 12,5⁩.
  4. أحسب حجم رباعي الوجوه SABC.
  5. لتكن I منتصف ⁦[SB]⁩ و J منتصف ⁦[SC]⁩. أحسب IJ ثمّ بيّن أنّ (IJ) عمودي على المستوي (SAB).
التعامد في الفضاءنظرية بيتاغور وتطبيقاتهاالهرم المنتظم والمخروط الدورانيمبرهنة طالس في المثلث
عناصر الإجابة
  • 1) (SA) عمودي على المستوي (ABC) فهو عمودي على كلّ مستقيم منه يمرّ من A، ومنها ⁦(AB). SB² = 36 + 64 = 100⁩ إذن ⁦SB = 10⁩.
  • 2) (BC) ⊥ (AB) و (BC) ⊥ (SA)، والمستقيمان (AB) و (SA) متقاطعان في المستوي (SAB)، إذن (BC) ⊥ (SAB)؛ ومنه (BC) ⊥ (SB) فالمثلث SBC قائم في B.
  • 3) ⁦SC² = SB² + BC² = 100 + 56,25 = 156,25⁩ إذن ⁦SC = 12,5⁩.
  • 4) مساحة القاعدة ⁦ABC = (8 × 7,5)/2 = 30⁩ والارتفاع ⁦SA = 6⁩: ⁦V = (30 × 6)/3 = 60 cm³⁩.
  • 5) في المثلث SBC: I و J منتصفا ⁦[SB]⁩ و ⁦[SC]⁩ إذن ⁦(IJ) // (BC)⁩ و ⁦IJ = 7,5/2 = 3,75⁩. وبما أنّ (BC) ⊥ (SAB) و ⁦(IJ) // (BC)⁩ فإنّ (IJ) ⊥ (SAB).

موضوع وعناصر إجابة من إعداد سكولار، ليس موضوعًا رسميًا. تُقبل كلّ طريقة صحيحة أخرى.

راجع الدروس المعنيّة

لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.

دروس رياضيات التاسعةالمواضيع الرسمية
للأولياء

كيف ترافقون طفلكم في موضوع الرياضيات

  • نظّموا معه وقت الموضوع كما في يوم الامتحان، وشجّعوه على البدء بالتمرين الذي يرتاح إليه أكثر.
  • ذكّروه بأنّ تحرير الحلّ مهمّ مثل النتيجة: الخاصّيات المستعملة والمراحل مكتوبة بوضوح.
  • في الهندسة: اطلبوا منه رسمًا دقيقًا بالأدوات وتسجيل المعطيات عليه قبل البرهنة.
  • لا تعطوه الحلّ عند التعثّر؛ اسألوه عن الدرس أو الخاصّية التي قد تفيد، ودعوه يعيد المحاولة.
  • شجّعوه على التحقّق من النتائج (التعويض في المعادلة، معقولية القيس).

بعد أن ينجز طفلكم الموضوع، اسألوه:

  • «ما الخاصّية أو القاعدة التي استعملتها في هذا السؤال؟»
  • «هل تحقّقت من نتيجتك؟ كيف؟»
  • «ماذا ستراجع قبل الموضوع القادم؟»

مقالات أخرى في نصائح للأولياء.